Class 12 Statistics, Normal Distribution, Ex 10.1 Question 2(a)

Description in Urdu

السلام علیکم، میرے پیارے سٹوڈنٹس! آئی ہوپ یو آر آل فائن اینڈ ویل۔ سٹوڈنٹس، آج ہم آپ کا جو چیپٹر 10 کر رہے ہیں، سٹیٹسٹکس پارٹ ٹو، اس کا ہم "کویسچن نمبر ٹو" کا اے پارٹ کریں گے۔ ٹھیک ہے؟ سیکنڈ کویسچن کا اے پارٹ ہم کریں گے۔ اس کا سیشن دیکھیں۔

جیسا کہ آپ نے لاسٹ ویڈیو میں — جو اس سے پچھلی ویڈیو میں نے پہلے اپ لوڈ کی تھی اس چیپٹر کی — اس میں میں نے آپ کو بتایا تھا "پی ڈی ایف" کے بارے میں، "پروبیبلٹی ڈینسٹی فنکشن"۔ ٹھیک ہے؟ یہ ہمارے پاس پی ڈی ایف ہوتا ہے۔ اسی پی ڈی ایف کو ہم تھوڑا سا شارٹ فارم میں لے کر جائیں گے۔ ٹھیک ہے؟

اس کویسچن کے اندر ہمیں ایک یوز کرنا ہے — "سٹینڈرڈ نارمل ڈسٹری بیوشن" کو یوز کرنا ہے۔ ٹھیک ہے؟ اور یہ اس کے سامنے ڈسٹری بیوشن دی گئی ہے آپ کے سامنے۔ یہ جو پی ڈی ایف ہے، اسی سے ہمارا سٹینڈرڈ نارمل ڈسٹری بیوشن بنا ہے۔ اس میں چھوٹا سا ایک چینج کیا ہے کہ (x − μ)/σ۔ ٹھیک ہے؟ یہ جو بنیادی طور پر ہمارے پاس فارمولا ہوتا ہے، چھوٹا سا، یہ ہمارے پاس "g" کا فارمولا ہوتا ہے۔ ٹھیک ہے؟

جیسا کہ آپ نے لاسٹ ویڈیو میں دیکھا تھا کہ ہمارے پاس پی ڈی ایف کے اندر x ایک "نارمل ویری ایبل" ہوتا ہے، جبکہ ویریئنس اس کا σ² ہوتا ہے، اور مِین جو ہوتا ہے، اس کا μ ہوتا ہے۔ لیکن آج ہم جو اس کویسچن کے اندر سٹینڈرڈ نارمل ڈسٹری بیوشن دیکھیں گے، اس کے اندر ہمارے پاس جو "سٹینڈرڈ نارمل ویری ایبل" ہوتا ہے، اس کو ہم g کہتے ہیں۔ ٹھیک ہے؟ اس کو g سے ڈی نوٹ کرتے ہیں۔ یہ ایک سٹینڈرڈ نارمل ویری ایبل ہوتا ہے، اور اس کا فارمولا ہوتا ہے: (x − μ)/σ۔

تو جب آپ اس فارمولے کو اس پی ڈی ایف کے اندر سبسٹی ٹیوٹ کریں گے، اس پی ڈی ایف کے اندر انٹر کریں گے، تو آپ کے سامنے یہ جو ٹرم ہے، ساری کی ساری (x − μ)/σ، اس کی جگہ پر "g" لکھا جائے گا، کیونکہ g کا یہی فارمولا ہے۔ ٹھیک ہے؟ تو ہم اس کی جگہ g پُٹ کر دیں گے۔ ایک تو یہاں پر g بن جائے گا۔ ٹھیک ہے؟ یہ دیکھیں آپ، تو یہ یہاں پر g آ گیا۔

ایک اور چیز جو اس میں چینج آیا ہے، وہ آیا ہے — یہاں پر ویریئنس تھا، لیکن یہاں پر اس فارمولے میں ویریئنس نہیں ہے، کیونکہ سٹینڈرڈ نارمل ڈسٹری بیوشن کا جو ویریئنس ہوتا ہے، وہ ہمیشہ ایک (One) کے برابر ہوتا ہے۔ تو ہم اگر یہاں پر ایک پُٹ کریں گے — ٹھیک ہے؟ — اس کی جگہ پر، تو آپ کو پتا ہے، ایک جب ملٹی پلائی ہو یا ڈیوائیڈ ہو، تو اس کی کوئی ویلیو نہیں ہوتی پھر۔ تو ایک جب آپ پُٹ کریں گے، تو یہ آ جائے گا 1/√(2π)۔ ٹھیک ہے؟

تو یہ 1، 2π — ویریئنس ہمارا سٹینڈرڈ نارمل ڈسٹری بیوشن کا ایک ہوتا ہے۔ اس لیے یہاں پر ویریئنس ہمارا ایک رہ جائے گا۔ ٹھیک ہے؟ اور μ جو ہوتا ہے، وہ اس کا زیرو ہوتا ہے۔ μ یعنی کہ جو مِین ہوتا ہے، وہ اس کا زیرو ہوتا ہے، اور z اس کا (x − μ)/σ ہوتا ہے۔ ٹھیک ہے؟

تو ہم اس g کو ادھر پُٹ کریں گے، اور یہاں پر ویریئنس کو ایک پُٹ کریں گے، تو ہمارا بن جائے گا "سٹینڈرڈ نارمل ڈسٹری بیوشن"۔

اب اس کویسچن کو سالو کرنے کے لیے ہم یہ سٹینڈرڈ نارمل ڈسٹری بیوشن یوز کریں گے۔ اس کو لکھتے ہیں "آف"۔ یہ جو "sin" ہے، اس کو کہتے ہیں — ٹھیک ہے؟ — "فائی" (φ)۔ ٹھیک ہے، فائی، اس کو ہم اس طرح سے گول دائرہ لگا کر، چھوٹا سا، ایسے اس کے اوپر لائن لگاتے ہیں، تو یہ فائی بن جاتا ہے۔

تو اس کو ہم لکھیں گے: φ(g) = 1/√(2π) × e^(−1/2 × g²)۔ اس فارمولے کو ہم یوز کریں گے۔ ٹھیک ہے؟

اس کویسچن کے چار پارٹس ہیں۔ میں آپ کو جسٹ ایک کروا دوں گا۔ ٹھیک ہے؟ باقی آپ نے خود کرنے ہیں۔ بہت ایزی ہے، اسی لیے میں جسٹ ایک کروا رہا ہوں۔ ٹھیک ہے؟ وہ پارٹ آپ کا تھرڈ ہے، جس میں g = −0.84 دیا ہوا ہے۔ ٹھیک ہے؟ اور یہ ہمیں جو ہے فائنڈ کرنا ہے۔

اس میں ہمیں کویسچن کے اندر اس نے کہا ہے کہ اس کے جو ہے نا "آرڈینیٹس" فائنڈ کرنے ہیں — اپنے سٹینڈرڈ نارمل کرو کے کوآرڈینیٹس فائنڈ کرنے ہیں۔ ٹھیک ہے؟ تو چلیں اس کے آرڈینیٹ فائنڈ کرتے ہیں۔

اس کوآرڈینیٹ کو فائنڈ کرنے کے لیے ہم یہ اوپر والا فارمولا پُٹ کریں گے۔ جسٹ کیا کرنا ہے؟ آپ نے فارمولے کے اندر جہاں پر g ہے، وہاں پر یہ ویلیو پُٹ کر دینی ہے۔ ٹھیک ہے؟ میں دوبارہ سے یہ فارمولا لکھتا ہوں۔ یہاں پر آپ کے سامنے:

φ(g) = 1/√(2π) × e^(−1/2 × g²)

یہاں پر آپ کے پاس g ہے، اور اس کے آگے اسکوائر ہے۔ اب جہاں پر g ہے، اس پورے فارمولے میں، وہاں پر ہم پُٹ کر دیتے ہیں اس کی ویلیو — اس کویسچن کی جو اس نے دی ہوئی ہے: −0.84۔ ٹھیک ہے؟

1/√(2 × 22/7) — 2π کی ویلیو ہوتی ہے 22/7۔ ٹھیک ہے؟ وہ یہاں پُٹ کر دی میں نے، اور اوپر آ جائے گا اس کا اَنڈر روٹ فارمولے کا: e^(−1/2 × (−0.84)²)۔

تو جب ہم 0.84 کا اسکوائر کریں گے — ہمارے پاس چونکہ یہ مائنس میں ہے، تو مائنس کا اسکوائر پلس میں ہو جائے گا۔ ٹھیک ہے؟ اور اس ویلیو کو، جو اسکوائر کرنے کے بعد ویلیو آئے گی، وہ آئے گی ہمارے پاس 0.7056۔ اس کو جب آپ اسکوائر کریں گے، اس کو آپ نے 2 پر ڈیوائیڈ کر دینا ہے۔ ٹھیک ہے؟ 2 پر ڈیوائیڈ کر دیں گے، تو آپ کی نیگیٹو میں e کی پاور میں ایک ویلیو آئے گی، وہ میں یہاں پر لکھ رہا ہوں۔

باقی سارا یہ جو ایکویشن ہے، ایز اِٹ اِز آئے گا یہاں پر: 1/√(2 × 3.14)۔ ٹو کو ہم کیا کریں گے؟ ان دونوں کو ڈیوائیڈ کر کے، اور اس کو ٹو کو ملٹی پلائی کر دیتے ہیں۔ ٹھیک ہے؟ تو جب آپ ٹو کو پائی کی ویلیو سے ملٹی پلائی کریں گے، تو وہ ہمارے پاس آ جائے گا 68.57۔ ٹھیک ہے؟ پائی کی ویلیو کو ٹو سے ملٹی پلائی کریں گے تو یہ ویلیو آئے گی ہمارے پاس۔ کیلکولیٹر سے آپ نے کر لینا ہے۔

انٹو، اور e کی جو پاور ہے، اس کے اندر ایک ویلیو آئے گی جو نیگیٹو ہے، کیونکہ یہ نیگیٹو فارمولے کا ہے۔ تو جب آپ اس کے اسکوائر کو ٹو سے ڈیوائیڈ کریں گے، تو ہمارے پاس آ جائے گا 0.3528۔

اب "ایکسپونینٹ" کو ہم نے کیلکولیٹر سے سالو کرنا ہے۔ ٹھیک ہے؟ کیلکولیٹر سے آپ نے جو ہے، وہ "شفٹ E" کریں گے، تو اس کی ایک ویلیو ہوتی ہے۔ ٹھیک ہے؟ اس ویلیو کا آپ نے کیا لے لینا ہے؟ اس کی پاور لے لینی ہے — یا جسٹ آپ نے کیلکولیٹر سے "e" پریس کرنا ہے، اور اس کی پاور میں بریکٹ میں یہ لکھ دینا ہے۔ ٹھیک ہے؟ −0.3528، E کی پاور بریکٹ کے اندر آپ لکھیں گے۔ ٹھیک ہے؟

یہ آپ پریس کریں گے، آپ نے، اس سے کیلکولیٹر سے، تو اور پھر اس کے بعد آپ نے بریکٹ سٹارٹ کرنی ہے، اس کے اندر آپ نے −0.3528 لکھنا ہے، اور بریکٹ کو کلوز کرنا ہے۔ تو جب آپ اینڈ ایکوئل پریس کریں گے نا، تو اس چیز کا ایک آنسر آ جائے گا۔ ٹھیک ہے؟ وہ آپ نے آنسر یہاں پر پُٹ کرنا ہے۔ اوکے؟

تو یہ آپ نے کیلکولیٹر سے اس چیز کو اس طرح سے سالو کر لینا ہے۔ یا تو ڈائریکٹلی e کی پاور لکھ کر اس طرح کر لیں، یا "e" پریس کریں، اس کا ایکوئل پریس کریں، اور پھر جو آنسر آئے گا، اس کی پاور لے لیں۔ ٹھیک ہے؟ جیسے آپ کو جو انڈرسٹینڈ آپ کر سکو، اس طرح سے آپ نے کر لینا ہے۔

تو جب ہم یہ کریں گے، اس کی ایک ویلیو آ جائے گی، اور اس کو حل — سالو کرنے کے بعد ہمارے پاس جو ہے نا، اس کا آنسر آ جائے گا۔ وہ آپ نے فائنڈ کر لینا ہے۔ ٹھیک ہے؟ میں ڈائریکٹلی اب آپ کا اس کا آنسر لکھ رہا ہوں:

φ(−0.84) = 0.2803

ٹھیک ہے، یہ ہمارا اس کویسچن کا آنسر ہے۔ بس شروع میں تھوڑا سا کیا ہے کہ فارمولا آپ کو یاد ہو — ٹھیک ہے؟ — سٹینڈرڈ نارمل ڈسٹری بیوشن کیا ہوتی ہے، اس کے بارے میں پتا ہو، اور اس کے بعد جہاں پر g ہے، وہاں پر آپ نے بس وہ ویلیو پُٹ کر دینی ہے جو کویسچن کے اندر دی گئی ہے۔ اس کے بعد کچھ بھی نہیں ہے، بس سالو کرنا ہے۔ اسکوائر لے لینا ہے، ملٹی پلائی ڈیوائیڈ کر کے، اس کی پاور لے کے، اور یہ سارا کچھ آگے میتھس ہے آپ کا — پلس، مائنس، ڈیوائیڈ اور ملٹی پلائی ہے، اور اس کے علاوہ اَنڈر روٹ ہے ایک چیز۔

یہ سارے فنکشنز تو آپ کو آتے ہی ہیں۔ ٹھیک ہے؟ یہ آپ نے سالو کر لینے ہیں سٹیپ بائے سٹیپ۔ ٹھیک ہے؟ اور آپ کا یہ آنسر آ جائے گا۔ اگر کسی کو کیلکولیشن میں کوئی پرابلم آ رہی ہے — ٹھیک ہے؟ — تو وہ کیلکولیشن کے لیے پھر میں نیکسٹ ویڈیو میں مزید اس کی ڈیٹیل میں کیلکولیشن کر کے دکھا دوں گا۔ ٹھیک ہے؟ ورنہ اتنا تو خیر آپ ماشاءاللہ لائک بچے ہیں، سیکنڈ ایئر کے سٹوڈنٹس ہیں، تو کیلکولیشن تو آپ کو آنی چاہیے۔

چلیں نیکسٹ ویڈیو میں ملیں گے۔ اپنا خیال رکھیے گا۔ ٹیک کیئر۔ اللہ حافظ۔