Properties Of Normal Distribution

Description in Urdu

السلام علیکم، میرے پیارے سٹوڈنٹس! کیسے ہیں آپ سب؟ امید ہے آپ سب ٹھیک ہوں گے، خیر سے ہوں گے، سٹوڈنٹس۔ آج ہم جو ٹاپک کور کریں گے، وہ آپ کا ہے "نارمل ڈسٹری بیوشن" کا سٹیٹسٹکس پارٹ ٹو۔ ٹھیک ہے؟ یہ ہم شروع کریں گے، اور اس کا یہ ٹاپک "نارمل ڈسٹری بیوشن" جو آپ کے چیپٹر دس کا ٹاپک ہے۔ ٹھیک ہے؟ یہ چیپٹر دس آپ کا نارمل ڈسٹری بیوشن کے اوپر ہے۔ اور اس کے اندر پہلا ٹاپک ہی آپ کا یہی بن رہا ہے۔ ٹھیک ہے؟ اور آج ہم اس کا تھوڑا سا انٹرو دیکھیں گے کہ نارمل ڈسٹری بیوشن ہوتی کیا ہے؟ ٹھیک ہے؟

اس کی، جو آپ کے سامنے، میں نے ایک پہاڑ سا بنایا ہوا ہے، چھوٹا سا۔ یہ بنیادی طور پر پہاڑ تو نہیں ہے۔ ٹھیک ہے؟ یہ ایک "کرو" ہے جس کو ہم "نارمل کرو" کہتے ہیں۔ یہاں سے یہ چل رہی ہے، اور یہ آپ کی جو چوٹی ہے، یہاں پہنچی ہے، اور پھر یہاں سے یہ نیچے آ رہی ہے۔ تو یہ جو کرو بن رہی ہے، اس کرو کو ہم نارمل کرو کہتے ہیں۔

اور اس نارمل کرو کے اندر، یہ دو طرح کے کلر آپ کو نظر آ رہے ہیں۔ ٹھیک ہے؟ یہ سینٹر میں ایک لائن ہے۔ اگر ہم ایکس ایکسس کے اوپر — ٹھیک ہے؟ — اس کرو کو ڈرا کریں، تو اس کرو کے اندر جو ایریا ہوتا ہے، ٹوٹل ایریا، وہ ایک (One) کے برابر ہوتا ہے۔ اس لیے میں نے اس کو دو حصوں میں تقسیم کیا ہوا ہے۔ ٹھیک ہے؟ 0.5 اور 0.5، ان کو پلس کریں گے تو ایک آتا ہے۔ ٹھیک ہے؟

یہ والی سائیڈ برابر ہوتی ہے اس سائیڈ کے۔ ٹھیک ہے؟ سینٹر کی جو لائن ہوتی ہے، آپ کے پاس یہ جو نظر آ رہی ہے، اس کو ہم کہتے ہیں "میکسیمم آرڈینیٹ"۔ ٹھیک ہے؟ نارمل ڈسٹری بیوشن کا، یا نارمل کرو کا میکسیمم پوائنٹ کہہ سکتے ہیں، کیونکہ سب سے اونچا پوائنٹ یہی ہے۔ ٹھیک ہے؟

اور اس پوائنٹ پر مِین، میڈین اور موڈ، یہ تینوں ایوریجز ایک دوسرے کے برابر ہوتی ہیں۔ یہ آپ لوگوں نے فرسٹ ایئر میں بھی پڑھا تھا، اگر آپ کو یاد ہو، تو مِین، میڈین اور موڈ برابر ہوتے ہیں اس پوائنٹ پر۔ اس کو ہم μ سے ریپریزنٹ کریں گے۔ ٹھیک ہے؟ اس پوائنٹ کو، اس سینٹرل پوائنٹ کو، میکسیمم آرڈینیٹ کو، ہم μ سے ظاہر کریں گے۔

اس کرو کی شکل اور اس کی تھوڑی سی، آپ نے کچھ پوائنٹس آپ نے دیکھے ہیں۔ ٹھیک ہے؟ اس کے اندر کا جو ایریا ہوتا ہے، یہ بنیادی طور پر ہم نے اس میں فائنڈ کرنا ہے۔ اس چیپٹر کے اندر ہمیں مختلف ٹاپکس دیے جائیں گے، جس میں ہم نے اس ایریا کو مختلف طریقوں سے فائنڈ کرنا ہو گا۔ ٹھیک ہے؟

تو اس کو فائنڈ کرنے کے لیے، ہم جو فنکشن یوز کریں گے، اس کو ہم "پروبیبلٹی ڈینسٹی فنکشن" کہتے ہیں۔ وہ آپ کے سامنے یہ لکھا ہوا ہے:

f(x) = 1 / (√(2π) × σ²) × e^(−1/2 × ((x − μ)/σ)²)

ٹھیک ہے؟ یہ اس طرح سے بنتا ہے۔ یہ گول دائرہ لگا کے، اور یہ ایسے بالکل سیدھی سی لائن، جس کو ہم "سگما" کہتے ہیں، σ²۔ ٹھیک ہے؟ کیونکہ سگما جو ہوتا ہے، سمپل سگما، وہ "سٹینڈرڈ ڈیویئشن" کو ریپریزنٹ کرتا ہے۔ ٹھیک ہے؟

اور یہ جو ٹرم ہے، یہ ملٹی پلائی ہو رہی ہے "e" ایکسپونینٹ کے ساتھ۔ ایکسپونینشل ہے یہ۔ اس کی پاور میں آ رہا ہے −1/2، اور وہ ملٹی پلائی ہو رہا ہے (x − μ)/σ ہول اسکوائر۔ ٹھیک ہے؟

تو اس فنکشن کو ہم "پروبیبلٹی ڈینسٹی فنکشن" یا "پی ڈی ایف" بھی کہتے ہیں۔ "پی" فار پروبیبلٹی، "ڈی" فار ڈینسٹی، اینڈ "ایف" فار فنکشن۔ ٹھیک ہے؟ تو یہ ہمارا پی ڈی ایف ہوتا ہے۔ ہم اس کو یوز کرتے ہیں، اور ایریا انڈر دی نارمل کرو، جتنا ہمیں پوچھا جائے، وہ ہم پھر فائنڈ کرتے ہیں۔

اسی فنکشن کی مختلف شکلیں ہیں، جو آگے ہم جا کر ڈسکس کریں گے مزید۔ اس کو شارٹ فارم میں بھی کر دیں گے۔ ٹھیک ہے؟ اور وہ "اکارڈنگ ٹو دی کویسچن" کے لحاظ سے ہوگا۔ جس طرح کا سوال ہوگا، اسی طرح کا ہم پھر اس ایریا کو فائنڈ کرنے کے لیے یوز کریں گے۔

اس کی کچھ خصوصیات دیکھ لیں، جو کہ بہت ضروری ہیں، اور اس پورے چیپٹر میں وہ آپ کے لیے بار بار یوز ہو سکتی ہیں۔ آپ کو آنے والے سوالوں میں مدد دیں گی۔ چھوٹے چھوٹے پوائنٹس، یہ آپ نے یاد رکھنے ہیں۔ اہم چیزیں ہیں۔ اس چیپٹر کا جو نچوڑ ہے نا، وہ اس ویڈیو کے اندر ہے۔ تو آپ نے اس کو سکِپ نہیں کرنا۔ اس کو مکمل دیکھ لینا ہے۔

اچھا، اس میں، اس فنکشن کے اندر، پہلا پوائنٹ اگر ہم x کی بات کریں: یہ جو x دیا ہوا ہے، یہ والا x، اور یہاں پر بھی x ہے۔ اس x کو ہم "نارمل ویری ایبل" کہتے ہیں۔ اس کے بعد یہ جو μ ہوتا ہے، یہ ہمارا "مِین" ہوتا ہے۔ یہ دیکھیں۔ ٹھیک ہے؟ یہ μ یوز ہوا ہے اس کے اندر۔ اس کو ہم مِین کہتے ہیں۔

اس کے بعد ہے سگما اسکوائر (σ²)۔ جیسے کہ پہلے بتایا تھا آپ کو، سگما اسکوائر "ویریئنس" ہوتا ہے۔ اگر اوپر اسکوائر نہ ہو ویریئنس کا، تو وہ "سٹینڈرڈ ڈیویئشن" بن جاتا ہے۔ تو سٹینڈرڈ ڈیویئشن کا جو اسکوائر ہوتا ہے، وہ ویریئنس ہوتا ہے۔ ٹھیک ہے؟

پھر اس فنکشن کی، یہ جو نارمل کرو ہے، اس کا ایریا، اس کی کچھ "رینج" بھی تو ہوگی۔ جب ایریا فائنڈ کرتے ہیں تو ہمیں رینج کا بھی پتا ہونا چاہیے۔ تو اس کی رینج −انفنٹی سے +انفنٹی ہوتی ہے۔ ٹھیک ہے؟ جو کہ میں نے یہاں پر بھی لکھا ہے: −∞ سے +∞ اس کی رینج ہوتی ہے۔

اور یہ ایک "کنٹینیوئس ڈسٹری بیوشن" ہے۔ ٹھیک ہے؟ ڈسکریٹ ڈسٹری بیوشن نہیں ہے۔ یہ کنٹینیوئس ڈسٹری بیوشن ہے ہمارے پاس۔ اور اگر ہم اس کی شکل کو دیکھیں، تو یہ "بیل شیپ" ہے۔ ٹھیک ہے؟ بیل کا پتا ہے نا آپ کو کیا ہوتی ہے؟ ایک بیل جو لٹکی ہوتی ہے۔ ٹھیک ہے؟ تو وہ اس شکل کی ہوتی ہے۔ تو اس کی شکل جو ہے، اس نارمل کرو کی، یا نارمل ڈسٹری بیوشن کرو کی، یہ "بیل شیپ" ہوتی ہے۔ ٹھیک ہے؟

پھر اس کا جو ٹوٹل ایریا ہوتا ہے، انڈر دی نارمل کرو، وہ ایک (One) کے برابر ہوتا ہے۔ جیسا کہ آپ کو ابھی بتایا تھا، 0.5 پازیٹو سائیڈ پر ویلیوز آتی ہیں ساری، اور 0.5 یہ جو نیگیٹو سائیڈ پر ویلیوز آتی ہیں۔ تو یہ دونوں کو جب ہم پلس کرتے ہیں، اس ایریا کو اور اس ایریا کو، تو وہ ایک کے برابر آتا ہے۔ یہاں سے لے کر یہاں تک کا سارا ایریا ایک کے برابر ہوتا ہے۔ ٹھیک ہے؟

پھر یہ جو ڈسٹری بیوشن ہوتی ہے، یہ "سِمیٹریکل" ہوتی ہے۔ آپ لوگوں نے فرسٹ ایئر میں یاد ہو اگر آپ کو پڑھا ہوگا کہ سمیٹریکل ڈسٹری بیوشن ایک ایسی ڈسٹری بیوشن ہوتی ہے، جس میں مِین، میڈین اور موڈ ایک دوسرے کے برابر ہوتے ہیں۔ تو لہٰذا اس ڈسٹری بیوشن میں بھی، اس پوائنٹ پر مِین، میڈین، موڈ ایک دوسرے کے برابر ہوتی ہیں۔ اور یہ جو ڈسٹری بیوشن ہے، یہ سمیٹریکل ہے۔

اس کا میکسیمم کوآرڈینیٹ، اگر ہم پوچھا جائے، اگر آپ سے، وہ کیا ہوتا ہے؟ ہے وہ x = μ ہوتا ہے۔ جیسے کہ میں نے آپ کو بتایا تھا کہ یہ جو پوائنٹ ہوتا ہے، یہ اس کا میکسیمم کوآرڈینیٹ پوائنٹ ہوتا ہے۔ ٹھیک ہے؟ اور اس کو ہم μ سے ظاہر کرتے ہیں۔

پھر اس میں اگر آپ سے "کوارٹائلز" نکالنے کے لیے پوچھا جائے۔ کوارٹائلز آپ نے فرسٹ ایئر میں پڑھے ہوئے ہیں۔ ٹھیک ہے؟ پارٹ ون میں آپ نے دیکھے ہوں گے۔ Q1 ہوتا ہے ہمارے پاس "لوئر کوارٹائل"۔ ٹھیک ہے؟ Q3 ہوتا ہے "اپر کوارٹائل"، اور ایک اور ہوتا ہے جس کو ہم "مِڈل کوارٹائل" کہتے ہیں، جو کہ میڈین کے برابر ہوتا ہے۔ ٹھیک ہے؟

تو Q1 اگر فائنڈ کرنا ہو، تو اس کے لیے یہ فارمولا ہے: Q1 کو ہم یہاں پر x0.25 بھی کہتے ہیں۔ جیسا کہ آپ کو پتا ہے کہ جو Q1 ہوتا ہے، یہ آپ کا جو ڈیٹا ہوتا ہے، اس کے 25% پر آپ کا کوارٹائل ون ہوتا ہے۔ ٹھیک ہے؟ اسی لیے ہم x کے ساتھ 0.25 لکھتے ہیں۔ ایک نوٹیشن ہے Q1 کی۔ Q1 بھی لکھ سکتے ہیں۔ x0.25 اگر آ جائے کہیں پر، تو آپ کو پتا ہونا چاہیے کہ یہ آپ کا کوارٹائل ون ہے، Q1 ہے، یا لوئر کوارٹائل ہے۔

اس کا فارمولا ہوتا ہے: μ − 0.6745σ۔ ٹھیک ہے؟

اور اگر ہم Q3 فائنڈ کرنے جائیں، تو جیسے کہ آپ کو پتا ہے کہ Q3 ہمارا جو ہوتا ہے، وہ ڈیٹا کے 75% پر ہمارا کوارٹائل تھرڈ بنتا ہے، جس کو "اپر کوارٹائل" کہتے ہیں۔ اس کا فارمولا بھی سیم ہے، بس یہاں پر سینٹر میں آتا ہے پلس۔ ٹھیک ہے؟

μ + 0.6745σ۔

تو یہ آپ کا نکل آئے گا کوارٹائل تھرڈ۔ یعنی کہ μ کی ویلیو میں ہم پلس کریں گے یہ ویلیو، اور سگما کی بھی ویلیو آپ کو گیون ہوگی۔ تو جب یہ ساری چیزیں گیون ہوں گی، تو ہمیں اس فارمولے کو زبانی — کیونکہ آتا ہوگا ہمیں — تو ہم اس میں پُٹ کر کے اپنا تھرڈ کوارٹائل یا فرسٹ کوارٹائل فائنڈ کر سکتے ہیں۔

اگر "کوارٹائل ڈیویئشن" فائنڈ کرنا ہو، تو فارمولا آپ کا سیم ہے جیسا کہ فرسٹ ایئر میں تھا: (Q3 − Q1) / 2۔ ٹھیک ہے؟ تو یہاں پر بھی سیم فارمولا ہے۔

اور اگر کوارٹائل ڈیویئشن آپ سے اس میتھڈ سے نہ پوچھا جائے، اس میتھڈ سے پوچھ لے — یہ چھوٹے چھوٹے فارمولے بھی ہیں، اور اس کی خصوصیات بھی ساری ہیں۔ ٹھیک ہے نا؟

تو کوارٹائل ڈیویئشن میں بعض دفعہ وہ ہمیں سگما کی ویلیو دے دیتا ہے سوال کے اندر، اور کہتا ہے کہ کوارٹائل ڈیویئشن فائنڈ کریں۔ یعنی اگر نارمل ڈسٹری بیوشن ہے کوئی — ٹھیک ہے؟ کوئی بھی — اور اس کا اگر سگما ہمیں دیا جائے، لائک کے وہ کہہ لے کہ سگما اس کا ہے فور۔ ٹھیک ہے؟ تو ہمیں اس کا Q ڈی فائنڈ کر کے دکھائیں۔ تو آپ نے جسٹ سمپل فور پُٹ کریں گے اپنے فارمولے میں۔ ٹھیک ہے؟ اور اس کو سالو کر کے کوارٹائل ڈیویئشن فائنڈ کر سکتے ہیں۔

اس کے بعد سٹوڈنٹس، اگر ڈیٹا کا "مِین ڈیویئشن" فائنڈ کرنے کو کہا جائے، یعنی کہ نارمل ڈسٹری بیوشن کا مِین ڈیویئشن فائنڈ کرنے کے لیے، ہم یہ فارمولا یوز کریں گے: 4/5 × σ۔ ٹھیک ہے؟ سگما کی ویلیو گیون ہوگی، تو ہم یہ فائنڈ کر سکیں گے ایزلی۔

پھر "مومنٹس" کی اگر ہم بات کریں، کہ نارمل ڈسٹری بیوشن جو ہوتی ہے، اس کے مومنٹس جو ہوتے ہیں، ان میں آپ نے یاد رکھنا ہے کہ "آل آڈ آرڈر مومنٹس آر زیرو"۔ یعنی کہ آڈ آرڈر — آڈ نمبرز اور ایون نمبرز کا تو آپ کو پتا ہی ہے نا کیا ہوتے ہیں؟ 1، 3، 5، 7، 9، 11 آڈ نمبرز ہوتے ہیں، جبکہ 2، 4، 6، 8، 10 وہ سارے ایون نمبرز ہوتے ہیں۔ مطلب ایسا ہر نمبر جو ٹو پر ڈیوائیڈ ہوتا ہے، وہ ایون نمبر ہوتا ہے۔ ٹھیک ہے نا؟

تو اس میں μ1، μ3، μ5 — یہ سارے زیرو ہوتے ہیں۔ یہ آڈ آرڈر مومنٹس ہیں۔ یہ سارے کے سارے زیرو ہوتے ہیں۔ μ5 کے بعد اگر μ7 آ جاتا ہے، μ9 آ جاتا ہے، تو آپ کو پتا ہو کہ وہ زیرو ہوگا، کیونکہ وہ آڈ مومنٹ ہے۔

جبکہ جو اس میں دوسرے مومنٹس ہوتے ہیں، جیسے کہ ایون — جیسے اس میں μ2 اگر ہم دیکھیں، تو وہ ویریئنس کے برابر ہوتا ہے۔ یہ فرسٹ ایئر میں بھی آپ نے پڑھا ہوا ہے کہ جو سیکنڈ مومنٹ ہوتا ہے، وہ ویریئنس کے برابر ہوتا ہے۔ ٹھیک ہے؟ فرسٹ مومنٹ اور تھرڈ مومنٹ زیرو ہوتا ہے۔

جبکہ μ4 — اس میں مسلسل، ہم μ4 ہی فائنڈ کرتے ہیں۔ تو اس چیپٹر میں ہم جو μ4 کا فارمولا یوز کریں گے، وہ یہ ہوگا: 3σ⁴۔ ٹھیک ہے؟

اس کے بعد اگر ہم بات کریں "سکیونیس" کی، تو آپ کو یاد ہوگا کہ سکیونیس کے لیے ہم b1 یا بیٹا1 علامت استعمال کرتے ہوتے تھے اس کی، اور اس کا فارمولا تھا کہ: μ3 کا اسکوائر بائے μ2 کا کیوب۔ تو جیسا کہ آپ کو پتا ہے کہ μ3 تو 0 ہوتا ہے، ٹھیک ہے؟ تو جب 0 بائے کسی ویلیو ہو، تو وہ 0 کے برابر ہوتا ہے۔ تو بیٹا1 اگر زیرو آئے، تو آپ کو پتا ہے کہ آپ کا جو نارمل ڈسٹری بیوشن ہوتی ہے، وہ سمیٹریکل ہوتی ہے۔ یہ آپ نے فرسٹ ایئر میں بھی پڑھا ہوا ہے۔

اسی طرح اگر ہم "کرٹوسِس" کی بات کریں، تو کرٹوسِس کو ہم ریپریزنٹ کرتے ہیں b2 سے یا بیٹا2 سے، اور اس کا فارمولا ہوتا ہے: μ4 / μ2 کا اسکوائر۔ جب اس کو سالو کریں، اور اس کا آنسر اگر تھری آ جائے، تو ہم کہہ دیتے ہیں کہ ہمارا جو ڈسٹری بیوشن ہے، وہ ہے "میزوکارٹک"۔ تو اس میں مسلسل ڈسٹری بیوشن میزوکارٹک اور سمیٹریکل ہی ہوتی ہے۔

تو یہ کچھ چیزیں ہوتی ہیں، جو ہم نے فائنڈ کرنی ہیں اس کے اندر، اور یہی اس کی کچھ خصوصیات ہیں۔ ٹھیک ہے؟ اس ویڈیو کو مکمل دوبارہ سے ایک دفعہ دیکھیے گا، اور ان چیزوں کو یاد رکھیں۔ ان کو اپنی بُک پر، اپنے نوٹس میں، ان کو لکھ لیں۔ اپنی بُک پر ان کو ہائی لائٹ کر لیں۔ ٹھیک ہے؟ یہ ہمارے اس چیپٹر میں کام آئیں گی آگے جا کر۔

آج کی ویڈیو میں اتنا ہی کافی ہے۔ تو، مزید ان شاء اللہ کل، اور نیکسٹ ویڈیو میں، ہم — جو ہے، اس ویڈیو کو لائک اینڈ شیئر کریں۔ کوئی سوال ہے تو کمنٹس میں کریں، پوچھیں۔ چینل پر نئے ہیں تو سبسکرائب کر کے جائیے گا، اور بیل آئیکن کو ضرور پریس کیجیے گا، تاکہ آپ کو میری آنے والی اگلی ویڈیوز سٹیٹسٹکس کے اوپر ملتی رہیں۔ اوکے؟ تھینک یو۔ اللہ حافظ۔